数学とプログラムで紐解く不定方程式

開発部だより　第223回

新年明けましておめでとうございます
みなさま、いかがお過ごしでしょうか。番人でございます。

年が明けた

ということはセンター試験が目前に迫っていますね

今回は来年度センター試験から先行導入される新学習指導要領の数学について、
数学目線とプログラム目線でご紹介したいと思います。

来年度センター試験から新学習指導要領が先行導入される数学と理科ですが、


ピックアップ

数学A 「整数の性質」

2013/11/12大学入試センターより平成27年度からの大学入試センター試験における数学、理科の問題例（試作問題）が公表されました。
今回は「整数の性質」の不定方程式に注目したいと思います

＊不定方程式とは
方程式3X＋2Y＝15のような，整数係数の代数方程式の整数解を求めることを不定方程式を解くという。


不定方程式は新学習指導要領で初登場と思われがちですが、過去に国公立大の2次試験や大学入試センター試験2009 ｢数学�U･B｣ の問題として登場しております


では不定方程式の問題を数学とプログラムの2つの考え方で見ていきましょう。

問題1 ３ｘ＋２ｙ＝２１を満たす自然数x,yの組を求めなさい。
数学思考
解法�@・・・素因数分解
積の形にして、素因数分解を利用する。
３ｘ＋２ｙ＝２１ より、2y = 3(7-x)
(左辺) = 2y > 0より 7-x > 0, よって0 < x < 7・・・�@
また(左辺) = 2y = 2の倍数より
　　(右辺) = 3(7 - x) = 2の倍数である。
よってxは奇数である。・・・�A

�@,�Aより

x = 1,3,5

∴(x,y) = (1,9),(3,6),(5,3)


問題2 66x + 35y = 3890を満たす自然数x,yの組を求めなさい。
解法�Aユーグリットの互助法の利用
６６＝３５×１＋３１　より、　３１＝６６−３５
３５＝３１×１＋４　より、　４＝３５−３１＝３５×２−６６
３１＝４×７＋３　より、　３＝６６−３５−（３５×２−６６）×７＝６６×８−３５×１５
４＝３×１＋１　より、　３５×２−６６−６６×８＋３５×１５＝１

すなわち、　６６×（−９）＋３５×１７＝１

よって、　６６×（−３５０１０）＋３５×６６１３０＝３８９０　より、

６６（ｘ＋３５０１０）＋３５（ｙ−６６１３０）＝０

このとき、　整数 ｔ に対して、　ｘ＝３５ｔ−３５０１０　、　ｙ＝６６１３０−６６ｔ
ｘ 、 ｙ は０以上の整数なので、　３５ｔ−３５０１０≧０　、　６６１３０−６６ｔ≧０
これを解いて、　１０００．２＜ｔ＜１００１．９７　より、　ｔ＝１００１
このとき、　ｘ＝　３５×１００１−３５０１０＝２５　、　ｙ＝６６１３０−６６×１００１＝６４　
∴(x,y) = (25,64)


解法�A合同式の利用

６６ｘ≡３８９０　（ｍｏｄ　３５）　または　３５ｙ≡３８９０　（ｍｏｄ　６６）を考える。

６６ｘ≡３８９０　（ｍｏｄ　３５）　の場合

６６≡３１　（ｍｏｄ　３５）　、３８９０≡５　（ｍｏｄ　３５）　となるので、

３１ｘ≡５　（ｍｏｄ　３５）

３５ｘ≡３５　（ｍｏｄ　３５）　を辺々引いて、　４ｘ≡３０　（ｍｏｄ　３５）

両辺を８倍して、　３２ｘ≡２４０　（ｍｏｄ　３５）　より、　３２ｘ≡３０　（ｍｏｄ　３５）

３１ｘ≡５　（ｍｏｄ　３５）　を辺々引いて、　ｘ≡２５　（ｍｏｄ　３５）

よって、　ｘ＝３５ｎ＋２５　（ｎ は整数）

このとき、　３５ｙ＝３８９０−６６ｘ＝３８９０−６６（３５ｎ＋２５）＝２２４０−２３１０ｎ　より、

ｙ＝６４−６６ｎ≧０　より、　ｎ≦３２/３３

また、　ｘ＝３５ｎ＋２５≧０　より、　ｎ≧−５/７　より、　−５/７≦ｎ≦３２/３３

　ｎ は整数なので、　ｎ＝０　となる。
∴(x,y) = (25,64)


解法�@は現行課程で解ける解法
解法�A、�Bは新課程で習う解法(現行課程でもこの解法を教えている学校は有ります)

様々な解法がありますが、結論(答え)を導く過程は他にも多数存在し、
思考能力の幅を持たせる問題でもあります。


じつは問題２は中学入試で出題された問題なのです

１個６６円の柿と１個３５円のミカンを合わせて３８９０円分買いました。
このとき、柿とミカンはそれぞれ何個ずつ買ったのか、それぞれ答えなさい。(平成２０年度 灘中学)

解法�C
つる算の利用

（解）　すべて柿とすると、　３８９０÷６６＝５８・・・６２　なので、いくつかはミカンである。

３８９０＝６６×５８＋６２＝６６×５７＋１２８＝６６×５７＋３５×２＋５８

１個の柿を２個のミカンと交換すると、余りが　６２−５８＝４　だけ減る。

ここで、１２８は４の倍数なので、上記の計算を、次のように変形する。

３８９０＝６６×５７＋１２８＝６６×５７＋（３５×２−６６×１）×３２＝６６×２５＋３５×６４

よって、　柿を　２５個　と　ミカンを　６４個を買えばよい。


　（別解）　すべてミカンとすると、　３８９０＝３５×１１１＋５　なので、いくつかは柿である。

　３８９０＝３５×１１１＋５＝３５×１１４−１００＝３５×１１４−（３５×２−６６×１）×２５

　より、　３８９０＝３５×６４＋６６×２５

　　よって、　柿を　２５個　と　ミカンを　６４個を買えばよい。


そして最後にプログラムによる解法

Sub ExGCD(x,y,a,b,c)
' Extended GCD
' x>0 , y>0 に対して ax + by = c となる a, b, c=Gcd(a,b) を求める
'
r0 = x : r1 = y
a0 = 1 : a1 = 0
b0 = 0 : b1 = 1
while (r1>0)
q1 = r0 \ r1
r2 = r0 mod r1
a2 = a0 - q1*a1
b2 = b0 - q1*b1
r0 = r1 : r1 = r2
a0 = a1 : a1 = a2
b0 = b1 : b1 = b2
wend
c = r0
a = a0
b = b0
End Sub


上記の問題を代入すると答えが得られます。


数学で考える・算数で考える・プログラムで考える・・様々な考え方があり、結論を導くためには本質を理解すること大切です
教育や仕事を通じて多くの考え方を身につけていきたいものです


私たちSATTは教育を行う手段としてeラーニングを推奨します。
反転授業への利用や集合研修など利用方法は様々です。


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